Exponenciální funkce: Příklad 1

Zadání:

Vyšetřete průběh exponenciální funkce.

Řešení:

1. Jako první si určíme definiční obor funkce, tedy .
2. 2) Dále určíme paritu funkce:
• 
• 
• 
• Daná funkce není ani sudá ani lichá.
3. Nyní určíme průsečíky grafu funkce s osami x,y:
• Průsečík s osou y graf funkce nemá, protože z definičního oboru funkce je zřejmé, že za x nelze dosadit 0.
• Průsečík garfu funkce s osou x dostaneme tak, že za y dosadíme 0. Po dosazení 0 za y dostaneme rovnici . Po úpravě nám vyjde . Průsečík s osou x je tedy v bodě .
4. Dále budeme počítat první derivaci funkce. První derivace funkce je rovna . Dále vypočítáme nulové body první derivace funkce. Nulové body vypočítáme tak, že položíme první derivaci funkce rovnu nule, Dostaneme tedy rovnici . Po úpravě nám vyjde kvadratická rovnice . Kořeny této kvadratické rovnice jsou body a .
5. V dalším kroku určíme monotónnost funkce, vyšetříme tedy znaménka první derivace na definičním oboru funkce f. Body a a bod nespojitosti z definičního oboru určují intervaly , , a . Pro zjištění monotónnosti si sestrojíme tabulku:
   
   

   f '(x)	+	-	-	+
   	Rostoucí	Klesající	Klesající	Rostoucí

   
   
   
   
   
6. Dále budeme počítat druhou derivaci funkce. Druhá derivace funkce je . Dále položíme druhou derivaci funkce rovnu nule. Dostaneme rovnici . Po úpravě nám vyjde rovnice ve tvaru . Nulový bod druhé derivace je tedy v bodě .
7. Nyní můžeme určit inflexi funkce. Nulový bod druhé derivace a bod nespojitosti z definičního oboru nám určují intervaly , a . Pro určení inflexe si sestrojíme tabulku:
   
   

   f ''(x)	-	-	+
   	Konkávní	Konkávní	Konvexní

   
   
   
   
   
   
8. Dále počítáme asymptoty se směrnicí. . Po úpravě vyjde k=1. Dále počítáme q, tedy . Po úpravě vyjde q=-3. Asymptota má tedy tvar y=x-3. Zbývá vyšetřit chování funkce v bodě x=0, ve kterém není funkce definována, tedy , .
9. Dále si určíme obor hodnot funkce, tedy
10. Nakonec sestrojíme graf funkce:
    

© David Dittmar