Exponenciální funkce: Příklad 2

Zadání:

Vyšetřete průběh exponenciální funkce.

Řešení:

1. Jako první si určíme definiční obor funkce, tedy D(f)=R.
2. 2) Dále určíme paritu funkce:
• 
• 
• 
• Daná funkce není ani sudá ani lichá.
3. Nyní budeme určovat průsečíky grafu funkce s osami x,y:
• Průsečík grafu funkce s osou y dostaneme tak, že za x dosadíme 0. Po dosazení nám vyjde, že průsečík s osou y je v bodě [0,0].
• Průsečík grafu funkce s osou x vypočítáme dosazením 0 za y. Po dosazení a úpravě rovnice nám vyjde průsečík s osou x v bodě [0,0].
4. Dále budeme počítat první derivaci funkce. První derivace funkce je . Nyní položíme první derivaci funkce rovnu nule, dostaneme rovnici . Daná rovnice se rovná nule právě tehdy když se . Nulové body první derivace jsou tedy body a .
5. V dalším kroku si určíme monotónnost funkce. Nulové body první derivace nám určují intervaly (-∞,0), (0,2) a (2,∞). Pro určení monotónnosti si sestrojíme tabulku:
   
   

   	(-∞,0)	(0,2)	(2,∞)
   f '(x)	-	+	-
   	Klesající	Rostoucí	Klesající

   
   
   
   
   
6. Dále si vypočítáme druhou derivaci funkce. Druhá derivace funkce je . Nyní položíme druhou derivaci funkce rovnu nule. Dostaneme tedy rovnici ve tvaru . Protože výraz je vždy kladný stačí nám vyřešit rovnici . Kořeny této kvadratické rovnice jsou body a .
7. Nyní můžeme určit inflexi funkce. Nulové body druhé derivace určují intervaly , a . Pro určení inflexe si sestrojíme tabulku:
   
   

   f ''(x)	+	-	+
   	Konvexní	Konkávní	Konvexní

   
   
   
   
   
8. Dále budeme určovat asymptoty funkce. Asymptoty bez směrnice daná funkce vzhledem k definičnímu oboru nemá, proto budeme počítat asymptoty se směrnicí, tedy a . Asymptota tedy vyšla y=0, je to tedy osa x.
9. Dále určíme obor hodnot funkce, tedy
10. Nakonec sestrojíme graf funkce:
    

© David Dittmar