Goniometrická funkce: Příklad 1

Zadání:

Vyšetřete průběh goniometrické funkce.

Řešení:

1. Jako první si určíme definiční obor funkce, tedy D(f)=R.
2. Dále určíme paritu funkce:
• 
• 
• 
• Daná funkce je lichá.
3. Dále počítáme průsečíky funkce s osami x,y:
• Průsečík grafu funkce s osou y vypočítáme tak, že za x dosadíme 0. Dostaneme tedy rovnici y=sin0 - 3sin0. Průsečík s osou y je tedy v bodě [0,0].
• Průsečíky grafu funkce s osou x dostaneme tak, že za y dosadíme 0. Tedy 0 = sin3x - 3sinx. Průsečíky s osou x jsou v bodech x=kπ pro k∈Z.
4. V dalším kroku si vypočítáme první derivaci funkce. První derivace funkce je . Nyní položíme první derivaci rovnu nule 0 = 3cos3x - 3cosx. Nulové body této rovnice jsou pro k∈Z.
5. Nyní si vypočítáme monotónnost funkce. Monotónnost stačí vyšetřit na intervalu (0,2π). Pro zjištění monotónnosti si sestrojíme tabulku:
   
   

   	(0,π/2)	(π/2,π)	(π,3π/2)	(3π/2,2π)
   f '(x)	-	+	+	-
   	Klesající	Rostoucí	Rostoucí	Klesající

   
   
   
   
   
6. Dále počítáme druhou derivaci funkce. Druhá derivace funkce je f''(x) = -9sin3x + 3sinx. Dále položíme druhou derivaci funkce rovnu nule, tedy -9sin3x + 3sinx = 0. Nulové body této rovnice jsou x=kπ pro k∈Z a body, pro které platí , což jsou na intervalu (0°,360°) body x=55°, x=125°, x=235°, x=305°.
7. Dále počítáme inflexi funkce. Pro určení inflexe si sestrojíme tabulku:
   
   

   	(0°,55°)	(55°,125°)	(125°,180°)	(180°,235°)	(235°,305°)	(305°,360°)
   f ''(x)	-	+	-	+	-	+
   	Konkávní	Konvexní	Konkávní	Konvexní	Konkávní	Konvexní

   
   
   
   
   
8. Daná funkce nemá žádné asymptoty.
9. Dále si určíme obor hodnot, tedy: .
10. Nakonec sestrojíme graf funkce:
    

© David Dittmar