wz

Goniometrická funkce: Příklad 2

Zadání:

Vyšetřete průběh goniometrické funkce.

Řešení:

  1. V prvním kroku si určíme definiční obor funkce, tedy D(f)=R.
  2. Dále určíme paritu funkce:
    • f(x) = sinx + cosx
    • f(-x) = sin(-x) + cos(-x)
    • -f(x) = -sinx - cosx
    • Funkce není ani sudá ani lichá.
  3. Dále počítáme průsečíky funkce s osami x,y:
    • Průsečík s osou y dostaneme dosazením 0 za x. Dostaneme tedy rovnici ve tvaru sin0 + cos0 = y. Po úpravě rovnice nám vyjde y = 1. Průsečík s osou y je tedy v bodě [0,1].
    • Průsečík grafu funkce s osou x získáme dosazením 0 za y. Dostaneme tedy rovnici ve tvaru sinx + cosx = 0. Po úpravě nám vyjde . Průsečíky s osou x jsou tedy v bodech , kde k∈Z.
  4. Nyní budeme funkci derivovat. První derivace funkce je f''(x) = cosx - sinx. Dále položíme první derivaci funkce rovnu nule. Dostaneme tedy rovnici ve tvaru cosx - sinx = 0. Po úpravě rovnice dostaneme nulové body první derivace. Nulové body první derivace jsou body , kde k∈Z.
  5. Dále si určíme monotónnost funkce. Monotónnost budeme určovat na intervalu . Pro určení monotónnosti si sestrojíme tabulku:

    f '(x) + - + -
    Rostoucí Klesající Rostoucí Klesající






  6. V dalším kroku vypočítáme druhou derivaci funkce. Druhá derivace funkce je f''(x) = -sinx - cosx. Nulové body druhé derivace funkce dostaneme tak, že položíme druhou derivaci funkce rovnu nule, dostaneme tedy rovnici ve tvaru 0 = -sinx - cosx. Po úpravě rovnice nám vyjde , kde k∈Z.
  7. Dále budeme určovat inflexi funkce. Inflexi funkce budeme určovat na intervalu . Pro určení inflexe funkce si sestrojíme tabulku:

    f ''(x) - + - +
    Konkávní Konvexní Konkávní Konvexní






  8. Nyní budeme určovat asymptoty funkce. Asymptoty bez směrnice daná funkce vzhledem k definičnímu oboru nemá. Zbývá tedy vyšetřit asymptoty se směrnicí, řešíme tedy . Limita v čitateli neexistuje, daná funkce tedy nemá asymptoty se směrnicí.
  9. Nyní určíme obor hodnot funkce, tedy: .
  10. Nakonec sestrojíme graf funkce: