Logaritmická funkce: Příklad 1

Zadání:

Vyšetřete průběh logaritmické funkce.

Řešení:

1. Jako první si určíme definiční obor funkce, tedy D(f)=(0,∞).
2. Dále určíme paritu funkce:
• 
• 
• 
• Daná funkce není ani sudá ani lichá.
3. Nyní budeme určovat průsečíky grafu funkce s osami x,y:
• Průsečík s osou y graf funkce nemá, protože z definičního oboru funkce je zřejmé, že za x nelze dosadit 0.
• Průsečík grafu funkce s osou x dostaneme dosazením 0 za y, dostaneme tedy rovnici: . Po vyřešení dané rovnice nám vyjde, že průsečík grafu funkce s osou x je v bodě [1;0].
4. V dalším kroku si vypočítáme první derivaci funkce. První derivace funkce je . Nyní položíme první derivaci funkce rovnu nule. Dostaneme tedy rovnici . Po vyřešení dostaneme nulové body funkce. Její nulové body jsou a .
5. Dále si určíme monotónnost funkce. Pro určení monotónnosti si sestrojíme tabulku:
   
   

   	(-∞,e-2)	(e-2,1)	(1,∞)
   f '(x)	+	-	+
   	Rostoucí	Klesající	Rostoucí

   
   
   
   
   
6. Nyní si spočítáme druhou derivaci funkce. Druhá derivace funkce je . Dále položíme druhou derivaci funkce rovnu nule. Dostaneme tedy rovnici . Druhá derivace funkce se rovná nule v bodě x = -1.
7. Nyní si určíme inflexi funkce. Pro určení inflexe si sestrojíme tabulku:
   
   

   	(-∞,-1)	(-1,∞)
   f ''(x)	-	+
   	Konkávní	Konvexní

   
   
   
   
   
8. Daná funkce nemá žádné asymptoty.
9. Dále si určíme obor hodnot, tedy: H(f)=(0,∞).
10. Nakonec sestrojíme graf funkce:
    

© David Dittmar