Logaritmická funkce: Příklad 2

Zadání:

Vyšetřete průběh logaritmické funkce.

Řešení:

1. Jako první si určíme definiční obor funkce, tedy D(f)=(0,1)∪(1,∞).
2. Dále určíme paritu funkce:
• 
• 
• 
• Daná funkce není ani sudá ani lichá.
3. Nyní budeme určovat průsečíky grafu funkce s osami x,y:
• Průsečík s osou y spočítáme tak že za x dosadíme 0. Z definičního oboru funkce vyplívá, že za x nelze 0 dosadit, graf funkce nemá průsečík s osou y.
• Průsečík s osou x dostaneme dosazením 0 za y průsečík je tedy v bodě [0,0].
4. Dále budeme funkce derivovat. První derivace funkce je . Dále položíme první derivaci funkce rovnu nule. Dostáváme rovnici ve tvaru . Daná rovnice se rovná nule právě tehdy když se její čitatel rovná nule, řešíme tedy rovnici ln x-1=0. Nulový bod první derivace je x=e.
5. V dalším kroku budeme počítat monotónnost funkce. Nulový bod definičního oboru funkce a nulový bod první derivace funkce nám určují intervaly (0,1), (1,e) a (e,∞). Pro určení monotónnosti funkce si sestrojíme tabulku:
   
   

   	(0,1)	(1,e)	(e,∞)
   f '(x)	-	-	+
   	Klesající	Klesající	Rostoucí

   
   
   
   
   
6. Dále budeme počítat druhou derivaci funkce. Druhá derivace funkce je . Dále položíme druhou derivaci funkce rovnu nule, dostaneme tedy rovnici ve tvaru . Daná rovnice se rovná nule právě tehdy když se její čitatel rovná nule a čitatel rovnice se rovná nule právě tehdy když se 2-ln x=0. Nulový bod druhé derivace je tedy bod x=e².
7. V dalším kroku zjistíme inflexi funkce. Bod z definičního oboru a nulový bod druhé derivace nám určují intervaly (0,1), (1,e²) a (e²,∞). Pro určení inflexe si sestrojíme tabulku:
   
   

   	(0,1)	(1,e2)	(e2,∞)
   f ''(x)	-	+	-
   	Konkávní	Konvexní	Konkávní

   
   
   
   
   
8. Dále počítáme asymptoty funkce. Nejprve budeme počítat asymptoty bez směrnice. Z definičního oboru je zřejmé, že asymptota bez směrnice je x=1. Asymptota se směrnicí neexistuje.
9. Dále si určíme obor hodnot, tedy: .
10. Nakonec sestrojíme graf funkce:
    

© David Dittmar