Lomená funkce: Příklad 1

Zadání:

Vyšetřete průběh lomené funkce.

Řešení:

1. Nejdříve si určíme definiční obor funkce: D(f)=R\{1}.
2. Dále určíme paritu funkce:
• 
• 
• 
• Funkce není ani sudá ani lichá.
3. Dále počítáme průsečíky funkce s osami x,y:
• Průsečík grafu funkce s osou y je v bodě [0,-1].
• Průsečík grafu funkce s osou x dostaneme vyřešením rovnice . Po úpravě rovnice dostaneme x = -1. Průsečík grafu funkce je tedy v bodě [-1,0].
4. Nyní budeme funkci derivovat. Pro derivaci funkce použijeme vzorec pro derivaci podílu . Po derivaci nám tedy vyjde . Dále položíme derivaci funkce rovnu nule, budeme tedy řešit rovnici . Daná rovnice se nikdy nerovná 0, nemá tedy body podezřelé z extrémů.
5. V dalším kroku si vypočítáme monotónnost funkce. Bod z definičního oboru nám určuje intervaly (-∞,1), (1,∞). Sestrojíme si tabulku:
   
   

   	(-∞,1)	(1,∞)
   f '(x)	-	-
   	Klesající	Klesající

   
   
   
   
   
6. Dále budeme funkci podruhé derivovat . Po úpravě dostáváme tvar . Druhou derivaci položíme rovnu nule, dostaneme rovnici . Daná rovnice se nikdy nerovná nule.
7. Nyní budeme počítat inflexi funkce. Bod z definičního oboru nám určuje intervaly (-∞,1), (1,∞). Pro určení inflexe si sestrojíme tabulku:
   
   

   	(-∞,1)	(1,∞)
   f ''(x)	-	+
   	Konkávní	Konvexní

   
   
   
   
   
8. Dále hledáme asymptoty funkce: po úpravě nám vyjde k = 0. Nyní budeme hledat q tedy: po úpravě zjistíme že q = 1. Asymptota funkce je tedy y = 1. Dále je z definičního oboru zřejmé, že x ≠ 1. Asymptota bez směrnice má tedy tvar x = 1.
9. Dále určíme obor hodnot funkce: .
10. Nakonec sestrojíme graf funkce:
    

© David Dittmar