Lomená funkce: Příklad 2

Zadání:

Vyšetřete průběh lomené funkce.

Řešení:

1. Nejdříve si určíme definiční obor funkce: D(f)=R\{1}.
2. Dále určíme paritu funkce:
• 
• 
• 
• Funkce není ani sudá ani lichá.
3. Dále počítáme průsečíky funkce s osami x,y:
• Průsečík grafu funkce s osou y je v bodě [0,0].
• Průsečík grafu funkce s osou x dostaneme vyřešením rovnice . Po úpravě rovnice dostaneme x = 0. Průsečík grafu funkce je tedy v bodě [0,0].
4. Nyní budeme funkci derivovat po úpravě nám vyjde . Nyní položíme derivaci funkce rovnu nule, budeme tedy řešit rovnici . Rovnice se rovná 0 právě když se její čitatel rovná 0, dostáváme tedy tvar x² - 2x = 0. Rovnici převedeme na součinový tvar x(x-2) = 0. Nyní můžeme určit nulové body první derivace. Jsou to body x₁ = 0 a x₂ = 2.
5. Dále si vypočítáme monotónnost funkce. Body x₁ = 0 a x₂ = 2 a bod nespojitosti 1 nám určují intervaly (-∞,0), (0,1), (1,2), (2,∞). Pro určení monotónnosti funkce si vytvoříme tabulku:
   
   

   	(-∞,0)	(0,1)	(1,2)	(2,∞)
   f '(x)	+	-	+	-
   	Rostoucí	Klesající	Rostoucí	Klesající

   
   
   
   
   
6. Jako další krok, abychom později mohli určit inflexi funkce, budeme funkci podruhé derivovat . Nyní zlomek upravíme a zkrátíme . Po úpravě dostáváme tvar . Druhou derivaci funkce položíme rovnu nule, budeme tedy řešit rovnici , z toho je zřejmé, že rovnice se nikdy nerovná 0.
7. Nyní budeme hledat inflexi funkce. Jelikož neexistují nulové body druhé derivace, použijeme pouze bod nespojitosti z definičního oboru funkce. Bod nespojitosti nám určuje intervaly (-∞,1), (1,∞). Pro zjištění inflexe si vytvoříme tabulku:
   
   

   	(-∞,1)	(1,∞)
   f ''(x)	-	+
   	Konkávní	Konvexní

   
   
   
   
   
8. Dále hledáme asymptoty funkce, tedy . Dále budeme počítat q, tedy . Asymptota má tedy tvar y = x + 1. Dále je z definičního oboru zřejmé, že x ≠ 1. Tedy asymptota bez směrnice má tvar x = 1.
9. Dále určíme obor hodnot funkce: .
10. Nakonec sestrojíme graf funkce:
    

© David Dittmar