Mocninná funkce: Příklad 1

Zadání:

Vyšetřete průběh mocninné funkce.

Řešení:

1. Jako první si určíme definiční obor: D(f)=R.
2. Nyní si spočítáme zda je daná funkce sudá nebo lichá:
• 
• 
• 
• Daná funkce je lichá. Je tedy souměrná podle počátku.
3. Dále si spočítáme průsečíky grafu funkce s osami x,y:
• Průsečík s osou y je v bodě [0;0].
• Průsečík s osou x získáme řešením rovnice . Dále je . Daná rovnice se rovná nule právě tehdy když . Rovnice x²+2=0 se nikdy nerovná 0. Rovnice má tedy jedno řešení x=0. Průsečík s osou x je v bodě [0;0].
4. V dalším kroku budeme danou funkci derivovat. Tedy . Stacionární body neexistují.
5. daná funkce je tedy rostoucí.
6. Dále provedeme druhou derivaci funkce . Nyní druhou derivaci funkce položíme rovnu nule 6x=0 ⇔ x=0. Bod x=0 je nulový bod druhé derivace.
7. Nyní hledáme inflexi funkce. Bod x=0 určuje intervaly (-∞,0),(0,+∞). Sestrojíme si tedy tabulku:
   
   

   	(-∞,0)	(0,+∞)
   f ''(x)	-	+
   	Konkávní	Konvexní

   
   
   
   
   
8. Nyní budeme hledat asymptoty funkce tedy a . Graf funkce nemá asymptoty se směrnicí ani asymptoty bez směrnice.
9. Dále určíme obor hodnot: H(f)=R
10. Nakonec sestrojíme graf funkce:
    

© David Dittmar