Mocninná funkce: Příklad 2

Zadání:

Vyšetřete průběh mocninné funkce.

Řešení:

1. Za prvé si určíme definiční obor funkce: D(f)=R.
2. Hned jako další krok zjistíme, zda je daná funkce sudá nebo lichá:
• 
• 
• 
• Funkce je sudá. Je tedy souměrná podle osy y.
3. Dále budeme určovat průsečíky grafu funkce s osami x,y:
• Průsečík s osou y je v bodě [0;0].
• Průsečík s osou x vypočítáme vyřešením rovnice . Rovnici budeme řešit substitucí tedy x²=a. Získáme rovnici a²-6a+5=0 dále je . Kořeny rovnice získáme tak, že dosadíme do rovnice x²=a a1 a a2. Dosadíme a₁=5 do rovnice x²=a a dostáváme rovnici x²=5 tedy . Dále dosadíme a₂=1 do rovnice x²=a a dostáváme rovnici x²=1 tedy x=±1. Průsečíky s osou x jsou v bodech .
4. Dále budeme funkci derivovat tedy . Dále položíme derivaci funkce rovnu 0 a dostaneme rovnici: rovnici upravíme do součinového tvaru: . Kořeny rovnice jsou body .
5. V dalším kroku si určíme monotónnost funkce. Body určují intervaly . Sestrojíme si tabulku:
   
   

   f '(x)	-	+	-	+
   	Klesající	Rostoucí	Klesající	Rostoucí

   
   
   
   
   
6. Dále budeme funkci podruhé derivovat . Nyní druhou derivaci funkce položíme rovnu nule rovnici upravíme do tvaru . Kořeny rovnice jsou body a .
7. Nyní budeme řešit inflexi funkce. Body a určují intervaly . Pro určení inflexe si sestrojíme tabulku:
   
   

   	(-∞,-1)	(-1,1)	(1,+∞)
   f ''(x)	+	-	+
   	Konvexní	Konkávní	Konvexní

   
   
   
   
   
8. Dále budeme hledat asymptoty funkce: a . Graf funkce nemá asymptoty se směrnicí ani asymptoty bez směrnice.
9. Nyní si určíme obor hodnot:
10. Nakonec sestrojíme graf funkce:
    

© David Dittmar